计数原理

计数原理是数学中的重要研究对象之一,分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法,也称为基本计数原理,它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。

基本定义

加法原理

分类计数原理:做一件事情,完成它有n类方式,第一类方式有M1种方法,第二类方式有M2种方法,……,第n类方式有Mn种方法,那么完成这件事情共有M1+M2+……+Mn种方法。 类类独立。

例:从武汉到上海有乘火车、飞机、轮船3种交通方式可供选择,而火车、飞机、轮船分别有k1,k2,k3个班次,那么从武汉到上海共有 k1+k2+k3种方式可以到达。

乘法原理

分步计数原理:做一件事情,完成它有$n$个步骤,第一步方式有$M_1$种方法,第二步方式有$M_2$种方法,……,第$n$步方式有$M_n$种方法,那么完成这件事情共有$M_1M_2……*M_n$种方法。 步步相关。

例:百位数有5种选择;十位数有4种选择;个位数有3种选择.所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数.

排列

排列(英语:Permutation)是将相异对象或符号根据确定的顺序重排。每个顺序都称作一个排列。例如,从一到六的数字有720种排列,对应于由这些数字组成的所有不重复亦不阙漏的序列,例如”4, 5, 6, 1, 2, 3” 与1, 3, 5, 2, 4, 6

排列数:从$n$个相异的元素中取出$m$个元素,$m$个元素的排列数量为:$A^m_n=n!/(n-m)!$

全排列排列数:$A^n_n=n!$

例:以赛马为例,有8匹马参加比赛,玩家需要在彩票上填入前三胜出的马匹的号码,从8匹马中取出3匹马来排前3名,排列数量为: $A^3_8 = 8!/(8-3)!$

组合

一个的元素的组合(英语:Combination)是一个子集S的一个k-组合是S的一个有k个元素的子集。若两个子集的元素完全相同并顺序相异,它仍视为同一个组合,这是组合和排列不同之处。

从n个不同元素中每次取出m个不同元素(0≤m≤n),不管其顺序合成一组,称为从n个元素中不重复地选取m个元素的一个组合。所有这样的组合的总数称为组合数,这个组合数的计算公式为:$C^m_n=P^m_n/P^m_m=n!/m!(n-m)!$

从不同元素中抽取部分元素的问题 。

模型总结

排列组合也不过是几多模型,在来回套用罢了,只需要区分好这几个模型,并且拿到题,能联想到是哪个模型,进而套用就可以解出题目了。

基础综合

  • 加法原理是情况与情况之间,类与类之间的关系。
  • 乘法原理是步骤与步骤之间的关系,前后是相关的。
  • 排列$A^m_n$是从$n$给中选取$m$个进行排列的数目。
  • 组合$C^m_n$是从$n$给中选取$m$个进行组合的数目。
  • 如果真的不知道排列和组合到底是什么,你可以再去看看课本。

例 (1988·全国·14·J)

假设在200件产品中有3件次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法种数为().

解析

看到至少,要想到分类,如果要分类,呢么就要用到加法原理。

  1. 5个里面抽到了2个次品:$C^2_3$,其余3个是正常的:$C^3_{197}$,因为抽到次品和抽到正常的两个步骤是相关的,所以 $C^2_3C^3_{197}$。
  2. 5个里面抽到了3个次品:$C^3_3$,其余2个是正常的:$C^2_{197}$,因为抽到次品和抽到正常的两个步骤是相关的,所以 $C^3_3C^2_{197}$。
  3. 加法原理:$C^2_3C^3_{197}+C^3_3C^2_{197}$

例 (2007·全国一·5·J)

甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有().

解析

甲乙丙选课是相关关系,用乘法原理:$C^2_4C^3_4C^3_4$。

例 (2010·湖北·6·J)

现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是().

解析

每个人都有5个选择,根据乘法原理可以很容易得到$5^6$。

例 (2011·全国·9·JJ)

4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选总共有()

解析

  1. 恰有两人选择甲课程,也就是只有两个人选择甲课程:$C^2_4$。
  2. 剩余两个人只能选择剩余的课程,不能再选择甲,所以每个人剩两个选择:$2^2$。
  3. 根据乘法原理可得:$C^2_4*2^2$。

例 (2006·江苏·13·JJ)

今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有()种不同的方法(用数字作答).

解析

九个排成一列,可以用填坑法,一共有9个坑,分别选择红黄白三种颜色球往里面填充:$C^2_9C^3_7C^4_4$。

例 (2000·全国旧课程·13·JJ)

乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有()种(用数字作答).

解析

  1. 有3个位置上填哪几个人是已经确定的,所以直接排列$A^3_3$。
  2. 剩余2个人中要从7个人中选择出来,并排列:$A^2_7$。
  3. 乘法原理可得:$A^3_3A^2_7$。

例 (2003·北京·9·J)

从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有().

解析

  1. 黄瓜必须选择,所以就从三种菜里选出2种,$C^2_3$。
  2. 又要把这三种选好的作物上排列在不同土质的三块土地,$A^3_3$。
  3. 乘法原理可得,$C^2_3$ $A^3_3$。

例 (2007·北京·5·J)

某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有().

解析

  1. 从26个字母中选择一个字母,$C^1_{26}$
  2. 在从26个字母中选择一个字母,$C^1_{26}$
  3. 选择四个不同数字,10个数字里面选择4个的排列数,$A^4_10$
  4. 乘法原理,$C^1_{26}$$C^1_{26}$$A^4_10$

分组模型

题目关键字:从XX中选出X,做YYY。

  • 一种是确定性分配,比如:6个人平均去3个不同的地方,于是我们很确定每个地方都要2个人去,此时直接$C^6_2C^4_2C^2_2$ 即可。
  • 一种是不确定性分配,比如:4个人去3个不同的地方,每地至少一个,也即1+1+2,这时每个地方不确定自己是几人(1或者2),所以要充分考虑各种可能性,列表格有助于周全地考虑各种可能性。

例 (2009·宁夏海南·15·j)

7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人,则不同的安排方案共有()种(用数字作答)。

解析

确定性分组,很明显可得$C^7_3C^3_4$。

例 (2009·湖北·4·j)

从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有()

解析

确定性分组,很容易确定$C^1_5C^4_2C^1_2$。

例 (2017·新课标全国二·6·JJ)

安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每一项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()。

解析

每个人完成工作的数目是不确定的,所以要进行分类。

第一个人 第二个人 第三个人 组合
2 1 1 $C^2_5C^2_3C^1_1$
1 2 1 $C^2_5C^3_1C^2_2$
1 1 2 $C^1_5C^4_2C^2_2$

加法原理可得:$C^2_5C^2_3C^1_1$$+C^2_5C^3_1C^2_2+$$C^1_5C^4_2C^2_2$

例 (1995·全国·20·JJ)

四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,则恰有一个空盒子的放法共有()种。

解析

这时候不仅要对空盒子进行分类,如果有一个空盒子,呢么必然还存在一个盒子放2个球。

第一个盒子 第二个盒子 第三个盒子 第四个盒子 组合
0 1 1 2 …………
0 1 2 1 …………
0 2 1 1 …………
1 1 2 0 …………
………… ………… ………… ………… …………

懒癌症患者,懒得打了,你看不懂再问我吧。

捆绑法和插孔法

①出现XX必须和YY在一起,呢就把XX和YY捆绑到一起,然后对XX和YY进行一个全排列,因为XX可能在YY左边,也可能在右边。

②出现XX必须不和YY在一起,呢就把XX和YY插缝到其它人中间。

例 (1996·全国·5·J)

6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须在一起的不同排法有()。

解析

呢就把甲乙排在一起吧,因为甲乙的位置没有被限定,所以甲乙内部的顺序也要进行一个全排列:$A^5_5A^2_2$ 。

例 (1990·全国·12·J)

A,B,B,D,E五人并排站在一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,呢么不同的排法公有()。

解析

A,B的内部位置是被确定好的,直接当成一个整体进行排列,所以最终结果是:$A^4_4$ 。

例 (2007·北京·5·J)

记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有().

解析

第一步,排两端∵从5名志愿者中选2名有$A_5^2$=20种排法

第二步,∵2位老人相邻,把2个老人看成整体,与剩下的3名志愿者全排列,有$A_4^4$=24种排法

第三步,2名老人之间的排列,有$A_2^2$=2种排法 最后,三步方法数相乘,共有$20×24×2=960$种排法故填写960.

例 (2010·北京·4·j)

8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为().

解析

这时候就要考虑插孔了,不相邻,就让她俩插在别人中间呗。

  1. 将所有学生先排列,有$A_8^8$ 种排法,
  2. 然后将两位老师插入9个空中, 共有$A_9^2$ 种排法,
  3. ∴一共有$A_8^8A_9^2$种排法.

例 (1984·全国·11·j)

要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法().

解析

有七个孔可插,有四个元素要插进去,综上可得:$A^6_6A^4_7$。

练习 (2005·辽宁·15·jjj)

用1,2,3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的八位数,要求1和2相邻、3与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻,这样的八位数共有( )个($A_4^2A_3^3A_2^2A_2^2A_2^2$)。

练习 (2008·安徽·12·JJJ)

12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是()($C_8^2A_6^2$).

堵孔法

所谓“堵孔”法,举个例子一听就懂,8瓶不同饮料8个人平分,本来是$A_8^8$.但现在小明不喝可乐,于是要从其他7人中选一人堵住可乐这个孔,再将剩下的7人(包括小明)$A_7^7$。

例 (1995·全国·15·j)

由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为().

解析

  1. 因为决定是否偶数的决定性因素是个位,先找个数把个位堵住$C_2^1$。
  2. 再从剩余的4个数中选择3个数$A_4^3$。

练习 (2009·陕西·9·j)

从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为().

练习 (2005·福建·10·j)

从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有().

END

其实还剩下两个模型,一个对立面,另一个染色,但是我觉得如果上面这些模型都会了,剩余这两个随便查查资料也很简单的。

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